勾股幂图 究其根源，亦与“河图”“洛书”、八卦、五行相联贯

河洛未分未变方图

洛末分末变三角图

解说：

《启蒙附论》日：“河图”之数，五十有五;“洛书”之数，四十有五，合为一百，此天地之全数也。以一百之全数为斜界而中分之，则自一至十者，积数五十有五;自一至九者，积数四十有五，二者相交，而成河、洛数之两三角形矣。凡积数自少而多，必以三角，而破百数之全方，以为三角，其形不离乎此。

又日：“河图”之数，自一至十;“洛书”之数，自一至九，象之已分者也。图则生数居内，成数居外，书则奇数居正，偶数居偏，位之已变者世。如前图破全方之百数，以为河、洛二数，又就点数十位，中西幂形之九层，以为河洛合一之数，则虽其象末分，其位未变，而阴阳相包之理，三极互根之道，己粲然寓于其中矣。

又日：“河图”“洛书”，出于两时，分为两象，今以一图括之可乎?日：十中涵九，故数终于十而位止于九，此天地自然之纪，而图、书所以相经纬，而未尝相离也。非有十者以为之经，则九之体无以立;非有九者以为之纬，则十之用无以行，不知图、书之本为一者，则亦不知其所以二矣。或日：“河图”“洛书”，有定位矣，今以为有未变者何与?日：《易大传》之言“河图”也，日：天一地二，天三地四，天五地六，天七地人，天九地十。顺而数之，此其未变者也。又日：天数五，地数五，五位相得，而各有合。分而置之，此其定位者也。如易卦一每生二，以至六十有四，则其未变者也，乾南坤北，离东坎西，则其定位者也。不知未变之根，则亦不足以识定位之妙矣。

谨按：“河图”“洛书”，本同根源，因已分而推末分，因已变而推末变。天地人物，莫不皆然。如人之始胎，五官百骸之位置已先具，鸟之方卵，头足尾翼之形象已先生。一粒之粟，而根茎苗穗，含于布种之初;一核之仁，而本干枝叶，筆于方萌之始。由是而推，天之日、月、星、辰，地之岳、渎、湖、海，不有默定于冯冯翼翼之先者乎?此告河、洛末分未变之理也。既分既变，而万事万物，又有无穷之变化，皆包括其中矣。先儒言易之蕴，未推及此，特录此二图，为《外篇》之首。又有点数应“河图”十位，幂数应“洛书”九位，各二图，今略之。

后天六十四卦方位图

解说：

按:后天图六十四卦，虽本先天，其方位当归后天，故图之。既济、未济，下经之终也，位于北与南。咸、恒，下经之始也，位于西与东。泰、否，上经之第十一、十二卦也，位于西南与西北。损、益，下经之第十一、十二卦也，位于东北与东南。四正相维，皆有自然之位置矣。

勾三股四弦五图

勾股幂图

解说：

黄帝豆隶首作九数，勾股其一，以御高深远近，其说始见《周髀算经》，云：昔者周公问于商高日：分闻子大夫善数也，请问古者庖辆立，周天历度，夫天不可阶而升，地不可尺寸而度，请问数安从出?商高日：数之法出于圆方，國出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折短，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之外，半其一矩，环而共盘，得成三、四、五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此也。

短边为勾，长边为股，斜边为弦。(或随纵横之势，恒以横者为勾，纵者为股，不论长短。又有正方形，勾股同长是为无较之勾股。任呼一边为勾，一边为股。)

勾股相减之差，日“勾股较”。勾股相并之数，日“勾股和”。(或省文单举较宇，即是勾股较，单举和字，即是勾股和。)股弦之差，日“股弦较”。勾弦之差，曰“勾弦较”。并勾股与弦相减之差，日“弦和较”。弦与勾股之差相减其差，曰“弦较较”股弦相并，曰“股弦和”。勾弦相并，日“勾弦和”。勾股之差并弦，曰“弦较和”勾股弦相并，日“弦和和”。其名十有三，勾股弦自乘之方目日幂，或日实，其中容受日积。勾股求弦，勾股各自乘，并为弦实，平方开之得弦。勾弦求股，勾弦各自乘，相减余为股实，平方开之得股。股弦求勾，股弦各自乘，相减余为勾实，平方开之得勾。以此三法为要，其余诸较诸和，皆有相求之法，犹可缓也。

勾股可以测地，亦可以窥天，其理至精，其用至博。凡方、圆、三角诸形，皆依勾股立算。虽浑圆弧曲，亦必以勾股直线算之。虚空中绝，无勾股之迹，亦可寻出勾股算之。日月生辰之高下，行度之疾，交食之浅深，御之以勾股，则分秒莫能通。

若数十里间，立表测望，而知高深远近，犹其用之小者耳。近世天学家讲论禁详，究其根源，亦与“河图”“洛书”、八卦、五行相联贯，学易者何可不深究乎?

后天八卦应勾股图

解说：

后天八卦，乾与巽对，坎与离对，艮与坤对，震与兑对，水火两相对，阳士阴土自相对，阳金对阴木，阳木对阴金。此其理，算家弧矢勾股正象之。凡平圆中截出一为矢，则余弦必四，正弦必三;截出二为矢，则余弦必三，正弦必四，而半径恒为五。(勾股法有二，一以短者为勾，长者为股;一以横者为勾，直者为股。此用横直之法，如图之甲至庚，亦作横论，己至庚，亦作直论。)余弦者勾也，正弦者股也，半径者斜弦也。矢者，余弦与半径之较也，是为“勾弦较”。全径十中，惟有矢一矢二者，正弦得整数，无奇零;若矢三矢四，则正弦必有奇零不尽，故此两勾股形为自然之数，即有自然之法象，而后天八卦，阴阳五行配偶，正与之相符矣。天一生水为坎，地二生火为离，故从一所成之勾股弦为阳卦，从二所成之勾股弦为阴卦。一坎为勾弦较，则勾四金为乾，股三木为震，弦五士为艮。二离为勾弦较，则勾三木为巽，股四金为兑，弦五土为坤。较与较对，勾与勾对，股与股对，弦与弦对，其序为勾较弦股，则成乾、坎、艮、坤、巽、离、坤、兑矣。图之丁丙为一块，甲丁为四乾，乙丁为三震，甲乙为五艮，庚戌为二离，甲庚为三巽，己庚为四兑，甲己为五坤。观两勾股之形，三、四必相对，则金必对木，而成乾、巽、震、兑之对;一、二相对，五自相对，则水必对火，土必对土，而成坎、离、艮、坤之对，皆有不得不然之势，先天所以变为后天也。

又以纳甲及地支三合之理推之，四勾乾纳甲，甲木生亥，一较坎纳癸，癸水生卯，同基于末，为交、印、未三合。三勾巽纳辛，辛金生子，二较离纳王，王水生申，同墓于辰，为申、子、辰三合。五斜弦艮纳丙，丙火生寅，五斜弦坤纳乙，乙木生午，同墓于成，为寅、午、戌三合。三股震纳庚，庚金生已，四股兑纳丁，丁火生西，同墓于丑，为已、西、丑三合。块与乾相比为偶，离与巽相比为偶，艮与坤相对为偶，震与兑相对为偶也。然则后天八卦，水火一而金、木、士各二，即平圆中孤矢勾股之理也。